Lambert-Reihe

In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

Definition

Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit ${\displaystyle a_{n}=1}$ für alle Werte n:

${\displaystyle L(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

Eigenschaften

Konvergenz

Für ${\displaystyle |q|=1}$ konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für ${\displaystyle |q|\neq 1}$ konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergiert. Konvergiert ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle ${\displaystyle q}$, für die die Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}}$ konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Lambert-Reihe als Potenzreihe

Die Lambert-Reihe kann für ${\displaystyle |q|<1}$ in eine geometrische Reihe

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}$

entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten ${\displaystyle b_{m}}$ der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von ${\displaystyle a_{n}}$ mit der konstanten Folge ${\displaystyle 1_{(n)}=1}$ ergeben:

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}}$

Alternative Form

Setzt man ${\displaystyle q=e^{-z}}$, so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz},}$

wieder mit

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.}$

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit ${\displaystyle z=2\pi }$, treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Anwendung

Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\sqrt {5}}\ \Phi ^{2n}}{\Phi ^{4n}-1}}={\sqrt {5}}\left(L\left(\Phi ^{-2}\right)-L\left(\Phi ^{-4}\right)\right)}$

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}\left({\sqrt {2}} 1\right)^{2n}}{\left({\sqrt {2}} 1\right)^{4n}-1}}=2{\sqrt {2}}\left(L\left(\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}\right)-L\left(\left({\sqrt {2}}-1\right)^{4}\right)\right)}$

Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n} 1}{2^{n^{2}}\left(2^{n}-1\right)}}=L\left({\frac {1}{2}}\right)}$

Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n} 1}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{n}-1}}-{\frac {2}{4^{n}-1}}\right)=L\left({\frac {1}{2}}\right)-2L\left({\frac {1}{4}}\right)}$

Siehe auch

• Thetafunktion
• Elliptisches Nomen

Literatur

• Eric W. Weisstein: Lambert Series. In: MathWorld (englisch).
• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974, S. 323. 
• Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien.

Einzelnachweise